Mechanik

Vorwort xv Vorwort der Vorauflage xvii 1 Einleitung 1 1.1 Experimentelle und Theoretische Physik 1 1.2 Ziel der Theoretischen Physik 1 1.3 Aufbau der Lehrbuchreihe Theoretische Physik 2 1.4 Stellung der klassischen Mechanik in der Theoretischen Physik 2 1.5 Gültigkeitsgrenzen der klassischen Mechanik 3 1.6 Struktur des Bandes Mechanik 4 1.7 Modellebenen der TheoretischenMechanik 7 1.8 Lösung von Gleichungen 8 2 Kinematik eines Massenpunktes 11 2.1 Grundbegriffe der Kinematik 11 2.1.1 Bezugssystem und Räume 11 2.1.2 Weglänge, Verrückung, Geschwindigkeit 13 2.1.3 Beschleunigung 14 2.2 Dekomposition von Geschwindigkeiten und Beschleunigungen 15 2.2.1 Kartesische Koordinaten 15 2.2.2 Zylinderkoordinaten, ebene Polarkoordinaten 16 2.2.3 Kugelkoordinaten 18 2.2.4 Begleitendes Dreibein 20 2.2.5 Allgemeine krummlinige Koordinaten 23 2.3 Rekonstruktion von Bewegungsgleichungen 26 Kontrollfragen 28 Aufgaben 29 3 Newton’sche Mechanik des einzelnen Massenpunktes 33 3.1 Newton’sche Axiome 33 3.1.1 Axiom I: Trägheitsgesetz 33 3.1.2 Axiom II: Grundgleichung der Dynamik 35 3.1.3 Axiom III: Wirkung und Gegenwirkung 40 3.2 Bewegung eines freien Massenpunktes 40 3.2.1 Bewegung eines Massenpunktes im Schwerefeld 42 3.2.2 Bewegung einer Ladung im elektromagnetischen Feld 44 3.3 Arbeit und kinetische Energie 45 3.4 Erhaltung der mechanischen Energie 49 3.4.1 Erste Integrale 49 3.4.2 Konservative Kräfte 49 3.4.3 Kraftfelder 50 3.4.4 Potentielle Energie und Arbeit 51 3.4.5 Darstellung von konservativen Kraftfeldern 55 3.4.6 Energiesatz der Mechanik 56 3.4.7 Beispiele für konservative Kraftfelder 57 3.4.8 Beispiele für nichtkonservative Kraftfelder 63 3.4.9 Nichtkonservative Kräfte mit zeitabhängigem Potential 66 3.5 Zentralkräfte. Drehmoment und Drehimpuls 68 3.5.1 Zentralkräfte 68 3.5.2 Drehmoment und Drehimpuls 71 3.6 Eingeschränkte Bewegung eines Massenpunktes, Reibung 72 3.6.1 Zwangsbedingungen 72 3.6.2 Zwangskräfte und Bewegungsgleichung 72 3.6.3 Bewegung eines Massenpunktes auf ruhender schiefer Ebene 75 3.6.4 Arbeit der Zwangskraft 78 3.6.5 Verallgemeinerung der Bedingungsgleichungen 79 3.6.6 Zweiseitige und einseitige Zwangsbedingungen 83 3.6.7 Freiheitsgrade 83 3.6.8 Reibung 84 3.7 Gleichgewicht desMassenpunktes. Das Prinzip der virtuellen Arbeit 88 3.7.1 Gleichgewicht einesMassenpunktes. Das Problem der Statik 88 3.7.2 Das Prinzip der virtuellen Arbeit 90 3.8 Das d’Alembert’sche Prinzip. Die formale Rückführung der Dynamik auf die Statik 96 3.8.1 Das d’Alembert’sche Prinzip 96 3.8.2 Die formale Rückführung der Dynamik auf die Statik 97 3.9 Bewegte Bezugssysteme (Relativbewegung). Trägheitskräfte 98 3.9.1 Beschreibung der Drehbewegung.Winkelgeschwindigkeit 99 3.9.2 Kinematik der Relativbewegung 99 3.9.3 Bewegungsgleichung des Massenpunktes 103 Kontrollfragen 108 Aufgaben 108 4 Anwendung der Newton’schen Grundgleichung auf die Dynamik eines Massenpunktes 111 4.1 Eindimensionale Bewegungen 111 4.1.1 Zeitabhängige Kraft 111 4.1.2 Ortsabhängige Kraft 113 4.1.3 Geschwindigkeitsabhängige Kraft 113 4.1.4 Freier Fall aus großer Höhe ohne Reibung 114 4.1.5 Freier Fall aus geringer Höhe mit Reibung 116 4.2 Schwingungen 119 4.2.1 Harmonische Schwingung in einer Dimension 119 4.2.2 Harmonische Schwingung in drei Dimensionen 127 4.2.3 Gedämpfte Schwingung 130 4.2.4 Resonanz bei erzwungener Schwingung 135 4.2.5 Methode der Green’schen Funktion 141 4.3 Kepler-Bahn im Schwerefeld 151 4.3.1 Flächensatz und Energiesatz 152 4.3.2 Darstellung in ebenen Polarkoordinaten 153 4.3.3 Qualitative Diskussion der Bewegung 154 4.3.4 Berechnung der Bahnkurve 155 4.3.5 Umlaufdauer 157 4.3.6 Zeitabhängige periodische Bahnen 158 Kontrollfragen 159 Aufgaben 160 5 Newton’sche Mechanik von Massenpunkten 165 5.1 Krafteinwirkung auf Massenpunkte 165 5.1.1 Äußere und innere Kräfte 165 5.1.2 Eingeprägte und Zwangskräfte 168 5.2 Impuls von Massenpunkten 169 5.2.1 Impulssatz 169 5.2.2 Schwerpunktsatz 170 5.2.3 Erhaltung des Gesamtimpulses 172 5.2.4 Bewegung durch Rückstoß 173 5.3 Drehimpuls von Massenpunkten 175 5.3.1 Drehimpulssatz 175 5.3.2 Erhaltung des Gesamtdrehimpulses 176 5.3.3 Abhängigkeit des Drehimpulses vom Bezugssystem 178 5.4 Energie vonMassenpunkten 180 5.4.1 Satz über die Änderung der kinetischen Energie 180 5.4.2 Erhaltung der Gesamtenergie 181 5.4.3 Zerlegung der potentiellen Energie 182 5.4.4 Zerlegung der kinetischen Energie 184 5.4.5 Zehn erste Integrale der Bewegung 184 5.5 Schwingungen von Systemen mit mehreren Freiheitsgraden 185 5.5.1 Auslenkungen vom Gleichgewicht 185 5.5.2 Verallgemeinertes Eigenwertproblem 189 5.5.3 Normalschwingungen 193 5.5.4 Gekoppelte Pendel 194 Kontrollfragen 196 Aufgaben 197 6 Lagrange-Formulierung der Mechanik 203 6.1 Das Prinzip der virtuellen Arbeit und das d’Alembert’sche Prinzip 203 6.1.1 Das d’Alembert’sche Prinzip für Punktsysteme 203 6.1.2 Gleichgewicht eines Systems vonMassenpunkten 207 6.2 Klassifizierung der Zwangsbedingungen, Lagrange-Gleichungen erster Art 207 6.2.1 Einteilung der Zwangsbedingungen 207 6.2.2 Lagrange-Gleichungen erster Art 212 6.2.3 Energiesatz 213 6.3 Das Hamilton’sche Prinzip 214 6.3.1 Differential- und Integralprinzipien 214 6.3.2 Festlegung zulässiger Vergleichsbahnen 216 6.3.3 Ableitung des Hamilton’schen Prinzips aus dem d’Alembert’schen Prinzip 219 6.3.4 Hamilton’sches Prinzip bei Kräften mit Potential 220 6.4 Grundaufgabe der Variationsrechnung 222 6.4.1 Mathematische Beispiele für Extremalprobleme 222 6.4.2 Zurückführung des Variationsproblems auf die Euler’sche Differentialgleichung 226 6.4.3 Variationen und Variationsableitungen 230 6.4.4 Variationsprobleme mit Nebenbedingungen 231 6.4.5 Anwendungen der Euler-Lagrange-Gleichung 233 6.5 Lagrange’sche Bewegungsgleichung zweiter Art. Allgemeine Koordinaten, Geschwindigkeits-, Kraft- und Impulskomponenten 235 6.5.1 Euler-Lagrange-Gleichungen der Mechanik 235 6.5.2 Euler-Lagrange-Gleichungen mit holonomen Nebenbedingungen 236 6.5.3 Allgemeine Koordinaten und Geschwindigkeiten 237 6.5.4 Lagrange-Gleichungen zweiter Art für holonome Systeme mit Potential 239 6.5.5 Lagrange-Gleichungen zweiter Art für nichtkonservative holonome Systeme 242 6.5.6 Bewegung eines Teilchens in einem elektromagnetischen Feld 244 6.5.7 Integrale der Lagrange-Gleichungen. Allgemeine Impulskoordinaten. Erhaltungssätze 246 6.5.8 Anholonome Systeme. Zwangsbedingungen. Zwangskräfte 249 6.6 Symmetrien und Erhaltungssätze (Theorem von E. Noether) 255 Kontrollfragen 262 Aufgaben 262 7 Der kanonische Formalismus der klassischen Mechanik 267 7.1 Systeme mit einer Lagrange-Funktion 267 7.2 Hamilton-Funktion. Kanonische Gleichungen 268 7.3 Physikalische Bedeutung der Hamilton-Funktion 270 7.4 Beispiele 271 7.4.1 Massenpunkt mit konservativer Kraft. Kartesische Koordinaten 271 7.4.2 Massenpunkt mit konservativer Kraft. Kugelkoordinaten 271 7.4.3 Hamilton-Funktion für ein geladenes Teilchen im elektromagnetischen Feld 271 7.5 Poisson-Klammern 272 7.6 Erhaltungssätze. Zyklische Variable 273 7.6.1 Energieerhaltungssatz 273 7.6.2 Zyklische Variable 273 7.7 Kanonische Transformationen 274 7.7.1 Punkttransformation und kanonische Transformation 274 7.7.2 Kanonische Transformationen 275 7.7.3 Beispiele für kanonische Transformationen 278 7.7.4 Infinitesimale kanonische Transformation 280 7.7.5 Invarianz der Poisson-Klammern 281 7.8 Liouville-Gleichung. Bewegung im Phasenraum 283 7.8.1 Konfigurationsraum und Phasenraum 283 7.8.2 Bewegungsgleichungen im Phasenraum 284 7.8.3 Symplektische Matrizen 285 7.8.4 Jacobi-Matrix für kanonische Transformationen 285 7.8.5 Benachbarte Bahnkurven 288 7.8.6 Liouville-Gleichung 290 7.8.7 Liouville-Theorem 292 7.9 Hamilton-Jacobi’sche partielle Differentialgleichung 293 7.9.1 Ableitung der Gleichung 293 7.9.2 Bedeutung der Hamilton-Jacobi-Gleichung 294 7.9.3 Zusammenhang mit derWirkungsfunktion 294 7.9.4 Wirkungsfunktion bei zeitunabhängiger Hamilton-Funktion 295 7.9.5 Beispiel: freier Massenpunkt in der Ebene 296 7.9.6 Geometrische Bedeutung derWirkungsfunktion 298 7.10 Periodische Bewegung. Wirkungs- und Winkelvariable 298 7.10.1 Systeme mit einemFreiheitsgrad 299 7.10.2 Systeme mit mehreren Freiheitsgraden 303 7.11 Reguläre und irreguläre Bewegung konservativer Systeme 305 7.11.1 Charakterisierung der Dynamik im Phasenraum 305 7.11.2 Integrable Systeme 306 7.11.3 Störungstheorie 308 7.11.4 Kolmogorov-Arnold-Moser-Theorem 310 7.11.5 Das Poincaré-Birkhoff-Theorem 310 Kontrollfragen 313 Aufgaben 313 8 Mechanik des starren Körpers 315 8.1 Definition der Freiheitsgrade des starren Körpers 315 8.2 Koordinatensysteme und Bewegung eines starren Körpers 316 8.2.1 Koordinatensysteme 316 8.2.2 Euler’scheWinkel 317 8.2.3 Infinitesimale Verschiebung des Körpers 319 8.2.4 Wechsel des Bezugssystems 320 8.3 Kinetische Energie des starren Körpers. Trägheitstensor 321 8.3.1 Kinetische Energie des starren Körpers 321 8.3.2 Der Trägheitstensor 322 8.4 Drehimpuls und Drehmoment. Bewegungsgleichungen eines starren Körpers 331 8.5 Energie- und Drehimpulserhaltungssatz des kräftefreien Kreisels 332 8.6 Die Bewegungsgleichungen eines in einem Punkt festgehaltenen Körpers (Euler’sche Kreiselgleichungen) 333 8.7 Diskussion von Sonderfällen 335 8.7.1 Isotroper Trägheitstensor 335 8.7.2 Euler’sche Gleichungen im Hauptachsensystem für einen kräftefreien Kreisel 336 Kontrollfragen 341 Aufgaben 341 9 Raum und Zeit 345 9.1 Fundamentale Wechselwirkungen 345 9.2 Das Relativitätsprinzip 347 9.3 Abstände im Raum-Zeit-Kontinuum 351 9.4 Die Eigenzeit 356 9.5 Die Lorentz-Transformation 357 9.5.1 Zeitdilatation 360 9.5.2 Längenkontraktion 361 9.5.3 Geschwindigkeitsadditionstheorem 362 9.6 Tensorkalkül im pseudo-euklidischen Raum 363 9.6.1 Vierervektoren, ko- und kontravariante Basis 363 9.6.2 Geometrische Objekte im Minkowski-Raum 368 9.6.3 Differentialoperatoren 372 9.7 Relativistische Mechanik 373 9.7.1 Einleitung 373 9.7.2 Vierergrößen 374 9.7.3 Erweiterung der Newton’schen Bewegungsgleichung 377 9.7.4 Energie-Impulsvektor und Bewegungsgleichung 380 9.7.5 Masse und Energie in der relativistischen Mechanik 381 Kontrollfragen 384 Aufgaben 384 Lösungen zu den Aufgaben 387 Anhang A Naturkonstanten 463 Anhang B Ellipsenparameter 465 Literatur 467 Stichwortverzeichnis 471